Brahistohrona līkne: 18 soļi (ar attēliem)

2024 Autors: John Day | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2024-01-30 10:54

Brahistohronu līkne ir klasiska fizikas problēma, kas iegūst ātrāko ceļu starp diviem punktiem A un B, kas atrodas dažādos augstumos. Lai gan šī problēma varētu šķist vienkārša, tā piedāvā pretintuitīvu rezultātu, un tāpēc to ir aizraujoši skatīties. Šajā pamācībā var uzzināt par teorētisko problēmu, izstrādāt risinājumu un visbeidzot izveidot modeli, kas parāda šī apbrīnojamā fizikas principa īpašības.

Šis projekts ir paredzēts vidusskolēniem, jo tie aptver saistītus jēdzienus teorijas stundās. Šis praktiskais projekts ne tikai nostiprina viņu izpratni par šo tēmu, bet arī piedāvā vairāku citu jomu sintēzi. Piemēram, veidojot modeli, studenti mācīsies par optiku, izmantojot Snella likumu, datorprogrammēšanu, 3D modelēšanu, digitālo fragmentāciju un pamata koka apstrādes prasmes. Tas ļauj visai klasei dalīties darbā, padarot to par komandas darbu. Laiks, kas nepieciešams šī projekta veikšanai, ir aptuveni nedēļa, un pēc tam to var parādīt klasei vai jaunākiem skolēniem.

Nav labāka veida, kā mācīties, nekā izmantojot STEM, tāpēc turpiniet izveidot savu brahistohronu modeli. Ja jums patīk projekts, balsojiet par to klases konkursā.

1. darbība: teorētiskā problēma

Brahistohronu problēma ir tāda, kuras mērķis ir atrast līkni, kas savieno divus punktus A un B, kas atrodas dažādos augstumos, piemēram, ka B nav tieši zem A, lai marmora nomešana vienota gravitācijas lauka ietekmē pa šo ceļu sasniedz B pēc iespējas ātrāk. Šo problēmu 1696. gadā radīja Johans Bernulli.

Kad Johans Bernulli 1696. gada jūnijā jautāja brahistohrona problēmu Acta Eruditorum lasītājiem, kas bija viens no pirmajiem zinātniski žurnāliem Eiropas vāciski runājošajās zemēs, viņš saņēma atbildes no 5 matemātiķiem: Īzaks Ņūtons, Jākobs Bernulli, Gotfrīdam Leibnicam, Ērenfrīdam Volteram fon Cirkenhauzam un Gijomam de l'Hôpitalam katram ir unikālas pieejas!

Brīdinājums: turpmākās darbības satur atbildi un atklāj skaistumu aiz šī ātrākā ceļa. Veltiet laiku, lai mēģinātu pārdomāt šo problēmu, varbūt jūs varētu to uzlauzt tāpat kā viens no šiem pieciem ģēnijiem.

2. darbība: demonstrēšanai izmantojiet Snella likumu

Viena no pieejām brahistohronu problēmas risināšanai ir problēmas risināšana, izmantojot analoģijas ar Snela likumu. Snela likums tiek izmantots, lai aprakstītu ceļu, pa kuru gaismas stars iet, lai nokļūtu no viena punkta otrā, pārejot pa diviem dažādiem nesējiem, izmantojot Fermata principu, saskaņā ar kuru gaismas stars vienmēr iet pa ātrāko ceļu. Formālu šī vienādojuma atvasinājumu var atrast, apmeklējot šo saiti.

Tā kā brīvi krītošu objektu gravitācijas lauka ietekmē var salīdzināt ar gaismas staru, kas pārvietojas caur mainīgu vidi, katru reizi, kad gaismas stars saskaras ar jaunu vidi, stars tiek nedaudz novirzīts. Šīs novirzes leņķi var aprēķināt, izmantojot Snella likumu. Turpinot pievienot samazinoša blīvuma slāņus gaismas novirzes priekšā, līdz staru kūlis sasniedz kritisko leņķi, kur stars vienkārši tiek atstarots, staru trajektorija raksturo brahistohrona līkni. (sarkanā līkne iepriekš redzamajā diagrammā)

Brahistohronu līkne patiesībā ir cikloīds, kas ir līkne, ko izseko punkts uz apļveida riteņa loka, ritenim ripojot pa taisnu līniju, neslīdot. Tādējādi, ja mums jāvelk līkne, tās ģenerēšanai var vienkārši izmantot iepriekš minēto metodi. Vēl viena unikāla līknes īpašība ir tāda, ka no jebkura līknes punkta izlaista bumba aizņems tieši to pašu laiku, lai sasniegtu dibenu. Turpmākajos soļos aprakstīts klases eksperimenta veikšanas process, veidojot modeli.

3. darbība. Praktiskā eksperimenta modelis

Modelis sastāv no lāzergriešanas ceļiem, kas darbojas kā bumbiņas. Lai parādītu, ka brahistohrona līkne ir ātrākais ceļš no punkta A uz B, mēs nolēmām to salīdzināt ar diviem citiem ceļiem. Tā kā diezgan daudzi cilvēki intuitīvi uzskatītu, ka īsākā daļa ir ātrākā, mēs nolēmām kā otro ceļu izvietot taisnu nogāzi, kas savieno abus punktus. Trešais ir stāvs līkums, jo varētu justies, ka pēkšņais kritums radīs pietiekami lielu ātrumu, lai pārspētu pārējos.

Otrais eksperiments, kurā bumbiņas tiek izlaistas no dažādiem augstumiem pa trim brahistohronu ceļiem, tiek panākts, bumbiņām sasniedzot vienlaicīgi. Tādējādi mūsu modelim ir 3D drukātas rokasgrāmatas, kas nodrošina vieglu savstarpēju aizstājamību starp akrila paneļiem, ļaujot veikt abus eksperimentus.

Visbeidzot, atbrīvošanas mehānisms nodrošina bumbiņu nomešanu kopā un laika modulis apakšā reģistrē laiku, kad bumbiņas sasniedz dibenu. Lai to panāktu, mēs esam iebūvējuši trīs gala slēdžus, kas tiek aktivizēti, kad bumbiņas to iedarbina.

Piezīme. Šo dizainu varētu vienkārši nokopēt un izgatavot no kartona vai citiem viegli pieejamiem materiāliem

4. darbība. Nepieciešamie materiāli

Šeit ir detaļas un izejvielas, lai izveidotu brahistohrona eksperimenta darba modeli

Aparatūra:

Priedes koka dēlis - izmēri; 100 x 10 cm

Neodīma magnēts 4 - izmēri; Diametrs 1 cm un augstums 0,5 cm

3D drukas pavedieni- PLA vai ABS ir labi

M3 vītņots ieliktnis x 8 - (pēc izvēles)

M3 skrūve x 8 - 2,5 cm gara

Koka skrūve x 3 - 6 cm gara

Koka skrūve 12 - 2,5 cm gara

ELEKTRONIKA:

Arduino Uno

Limit Switchx 4- šie slēdži darbosies kā laika sistēma

Uzspied pogu

LCD displejs

Jumpwire x daudz

Modeļa kopējās izmaksas sasniedza aptuveni 3 0 USD

5. darbība: 3D drukāšana

Vairākas detaļas, piemēram, atbrīvošanas mehānisms un vadības kārba, tika izgatavotas ar 3D printera palīdzību. Šajā sarakstā ir norādīts kopējais detaļu skaits un to drukāšanas specifikācijas. Visi STL faili ir pieejami iepriekš pievienotajā mapē, ļaujot nepieciešamības gadījumā veikt nepieciešamās izmaiņas.

Vadības bloks x 1, 20% uzpilde

Vadotne x 6, 30% uzpilde

Beigu pietura x 1, uzpilde 20%

Šarnīrs x 1, 20% uzpilde

Šarnīra stiprinājums x 1, 30% uzpilde

Izlaiduma gabals x 1, 20% uzpilde

Daļas tika iespiestas PLA, jo uz gabaliem nav īpaša stresa. Kopumā drukāšana prasīja apmēram 40 stundas.

6. solis: ceļu griešana ar lāzeru

Dažādie ceļi, ko izstrādājām fusion 360, tika eksportēti kā.dxf faili un pēc tam sagriezti ar lāzeru. Līkņu veidošanai izvēlējāmies necaurspīdīgu baltu akrilu, kura biezums ir 3 mm. To var izgatavot pat no koka, izmantojot rokas instrumentus, taču ir svarīgi nodrošināt, lai izvēlētais materiāls būtu ciets, jo elastība var ietekmēt bumbiņu ripošanu.

6 x Brahistohrona līkne

2 x stāva līkne

2 x taisna līkne

7. solis: koka griešana

Modeļa rāmis ir izgatavots no koka. Mēs izvēlējāmies 1 "pa 4" priedi, jo mums bija palikuši daži no iepriekšējā projekta, lai gan var izmantot koksni pēc savas izvēles. Izmantojot ripzāģi un vadotni, mēs sagriež divus koka gabalus garumā:

48 cm, kas ir ceļa garums

31 cm, kas ir augstums

Mēs notīrījām raupjās malas, viegli slīpējot to uz diska slīpmašīnas.

8. solis: urbumu urbšana

Pirms divu gabalu skrūvēšanas kopā atzīmējiet koka biezumu apakšējā gabala vienā galā un centrējiet trīs vienādā attālumā esošus caurumus. Mēs izmantojām 5 mm uzgali, lai abiem koka gabaliem izveidotu caurumu, un apakšā esošajam caurumam tika iegremdēts caurums, lai skrūves galvu varētu ieskrūvēt vienā līmenī.

Piezīme: Uzmanieties, lai vertikālais koka gabals netiktu sadalīts, jo tas tiks urbts gala graudā. Izmantojiet arī garas koka skrūves, jo ir svarīgi, lai svira nesatricinātu rāmi un augšpusi.

9. solis: radiatoru un magnētu iegulšana

Tā kā pavedieni 3D drukātajās daļās laika gaitā mēdz nolietoties, mēs nolēmām iestrādāt siltuma izlietnes. Atveres ir nedaudz nepietiekamas, lai radiators labāk saķertos ar plastmasu. Mēs ievietojām M3 siltuma izlietnes virs caurumiem un iespiedām tos ar lodāmura galu. Siltums izkausē plastmasu, ļaujot zobiem ieķīlēties. Pārliecinieties, ka tie ir vienā līmenī ar virsmu un ir ievietoti perpendikulāri. Pavisam ir 8 vietas vītņotiem ieliktņiem: 4 vākam un 4 Arduino Uno montāžai.

Lai atvieglotu laika vienības uzstādīšanu, mēs kastē ievietojām magnētus, padarot to viegli noņemamu, ja kādreiz ir nepieciešamas izmaiņas. Pirms stumšanas vietā magnētiem ir jāorientējas vienā virzienā.s

10. solis: Ierobežojošo slēdžu piestiprināšana

Trīs gala slēdži ir piestiprināti pie laika vienības vienas puses, kas vērsta pret ceļu apakšu. Tādējādi, bumbiņām noklikšķinot uz slēdžiem, var noteikt, kura bumba sasniedza pirmo, un parādīt laiku LCD displejā. Lodējiet uz nelielām stieples sloksnēm pie spailēm un nostipriniet tās spraugās ar CA līmi, jo tās nedrīkst atslābt pēc nepārtraukta sitiena.

11. solis: LCD displejs

Laika vienības vākam ir taisnstūrveida izgriezums LCD ekrānam un caurums pogai "Sākt". Mēs nostiprinājām displeju ar karstu līmi, līdz tas bija vienā līmenī ar vāka virsmu, un ar stiprinājuma uzgriezni nostiprinājām sarkano pogu.

12. solis: Elektronikas vadu savienošana

Elektroinstalācija sastāv no dažādu komponentu savienošanas labajās Arduino tapās. Lai iestatītu kārbu, ievērojiet iepriekš pievienoto elektroinstalācijas shēmu.

13. darbība: koda augšupielāde

Brachistochrone projekta Arduino kods ir atrodams zemāk. Elektronikas nodalījumā ir divas atveres, lai ērti piekļūtu Arduino programmēšanas portam un strāvas ligzdai.

Taimera palaišanai tiek izmantota sarkanā poga, kas ir pievienota kastes augšpusē. Kad bumbiņas rullē pa līknēm un iedarbina gala slēdžus, kas atrodas apakšā, laiks tiek ierakstīts secīgi. Kad visas trīs bumbiņas ir trāpījušas, LCD ekrānā tiek parādīti rezultāti, izlīdzināti ar attiecīgajām līknēm (attēli pievienoti iepriekš). Kad esat atzīmējis rezultātus, ja nepieciešams otrais lasījums, vienkārši vēlreiz nospiediet galveno pogu, lai atsvaidzinātu taimeri un atkārtotu to pašu procesu.

14. darbība: 3D drukas ceļveži

Vadotnēm, kas tika drukātas 3D formātā, pirms atbalsta sienu sākuma bija 3 mm materiāla pamatne. Tāpēc, ievietojot akrila paneļus vietā, starp paneli un koka rāmi būtu atstarpe, samazinot ceļa stabilitāti.

Tāpēc vadotne bija jāiekļauj kokā par 3 mm. Tā kā mums nebija maršrutētāja, mēs to aizvedām uz vietējo darbnīcu un nokārtojām ar frēzmašīnu. Pēc nelielas slīpēšanas izdrukas cieši pieguļ, un mēs to varam nostiprināt ar koka skrūvēm no sāniem. Iepriekš pievienota veidne 6 vadotņu novietošanai uz koka rāmja.

15. solis: aizbāžņa un laika vienības pievienošana

Tā kā laika noteikšanas modulis bija atsevišķa sistēma, mēs nolēmām izveidot ātru montāžas un atvienošanas sistēmu, izmantojot magnētus. Tādā veidā var viegli ieprogrammēt to, iespējams, vienkārši izņemt ierīci. Tā vietā, lai izveidotu veidni, kā pārvietot to magnētu stāvokli, kas jāiekļauj kokā, mēs vienkārši ļaujam tiem savienoties ar tiem, kas atrodas uz kastes, un pēc tam uzliekam nedaudz līmes un novietojam kastīti uz koka gabala. Līmes pēdas tika pārnestas uz koku, ļaujot mums ātri urbt caurumus precīzās vietās. Visbeidzot pievienojiet 3D drukāto aizbāzni, un laika vienībai jābūt cieši pieguļošai, lai to varētu atvienot ar nelielu pavilkšanu

16. darbība: atbrīvošanas mehānisms

Atbrīvošanas mehānisms ir vienkāršs. Izmantojiet uzgriezni un skrūvi, lai cieši savienotu C sekciju ar grozāmo roku, padarot tos par vienu drošu gabalu. Pēc tam izurbiet divus caurumus vertikālās koka vidū un piestipriniet stiprinājumu. Izbīdiet šarnīru un mehānisms ir pabeigts.

17. darbība: eksperiments

Tagad, kad modelis ir gatavs, varat veikt šādus eksperimentus

1. eksperiments

Uzmanīgi iebīdiet taisnā ceļa akrila paneļus, brahistohrona līkni un stāvo ceļu (šādā secībā, lai panāktu vislabāko efektu). Pēc tam pavelciet aizbīdni uz augšu un novietojiet trīs bumbiņas līknes augšdaļā, pārliecinoties, ka tās ir perfekti izlīdzinātas viena ar otru. Cieši turiet tos ar fiksatoru uz leju. Lieciet vienam skolēnam atlaist bumbiņas, bet otram nospiediet sarkano pogu, lai palaistu laika sistēmu. Visbeidzot novērojiet, kā bumbiņas ripo pa ceļu, un analizējiet rezultātus, kas parādīti laika modulī. Kameras iestatīšana palēninātas kustības ierakstīšanai ir vēl aizraujošāka, jo sacensības var redzēt kadru pa kadram.

2. eksperiments

Tāpat kā iepriekšējā eksperimenta slaids akrila paneļos, bet šoreiz visiem ceļiem jābūt brahistonhrona līknei. Uzmanīgi palūdziet studentam šoreiz turēt trīs bumbiņas dažādos augstumos un nospiediet sarkano pogu, kad bumbiņas tiek atbrīvotas. Noskatieties pārsteidzošo brīdi, kad bumbiņas perfekti sakārtojas pirms finiša līnijas, un apstipriniet novērojumus ar rezultātiem.

18. darbība. Secinājums

Brahistohrona modeļa izveide ir praktisks veids, kā redzēt zinātnes burvju veidus. Eksperimenti ir ne tikai jautri skatīties un saistoši, bet arī piedāvā mācīšanās aspektu sintēzi. Lai gan projekts galvenokārt ir paredzēts vidusskolēniem, gan praktiski, gan teorētiski, šo demonstrāciju var viegli uztvert jaunāki bērni un to var parādīt kā vienkāršotu prezentāciju.

Mēs vēlētos iedrošināt cilvēkus kaut ko darīt, vai tas būtu panākums vai neveiksme, jo dienas beigās STEM vienmēr ir jautri! Laimīgu veidošanu!

Nododiet balsojumu klases konkursā, ja jums patika pamācības, un atstājiet atsauksmes komentāru sadaļā.

Galvenā balva zinātnes konkursā klasē